Надкритичні графічні квадратичні форми та слабонадкритичні турніри

Abstract

У класичній монографії К. Рінгеля [1] було введено поняття графічної цілої квадратичної форми, яке є узагальненням форми Тітса частково впорядкованої множини, та були описані всі критичні (тобто мінімальні неслабододатні) графічні цілі квадратичні форми у вигляді явного списку відповідних ним ''переривчатих'' графів (тобто неорієнтовних графів без петель та кратних ребер, усі ребра яких — переривчаті). У пропонованій роботі цей результат узагальнюється на випадок надкритичних (тобто мінімальних неслабоневід'ємних) графічних цілих квадратичних форм. Отриманий результат (разом з раніше одержаними результатами автора та К. Рінгеля) дозволяє дати явний опис слабокритичних та, відповідно, слабонадкритичних турнірів (зокрема, відповідних частково впорядкованих множин), тобто мінімальних турнірів (зокрема, частково впорядкованих множин), для яких відповідні форми Тітса не є додатно (відповідно, невід'ємно) визначеними.

В классической монографии К. Рингеля [1] было введено понятие графической целой квадратичной формы, которое является обобщением формы Титса частично упорядоченного множества, и были описаны все критические (т.е. минимальные неслабоположительные) графические целые квадратичные формы в виде явного списка соответствующих им ''прерывистых'' графов (т.е. неориентированных графов без петель и кратных ребер, все ребра которых — прерывистые). В предлагаемой работе этот результат обобщается автором на случай сверхкритических (т.е. минимальных неслабонеотрицательных) графических целых квадратичных форм. Полученный результат (вместе с ранее полученными результатами автора и К. Рингеля) позволяет дать явное описание слабокритических и, соответственно, слабосверхкритических турниров (в частности, частично упорядоченных множеств), т.е. минимальных турниров (в частности, частично упорядоченных множеств), для которых соответствующие формы Титса не являются положительно (соответственно, неотрицательно) определенными.

In the classic monograph of C. Ringel [1], the concept of a graphical integral quadratic form, which is a generalization of the notion of the Tits form of a partially ordered set was introduced, and the all critical (i.e. minimal non-weakly positive) graphical integral quadratic forms in the shape of an explicit list of ''dotted'' graphs (i.e. undirected graphs without loops and multiple edges, the all ones of which are dotted) corresponding to them where described. Here this result is generalized to the case of hypercritical (i.e. minimal non-weakly non-negative) graphical integral quadratic forms. The obtained results (together with earlier results of author and C. Ringel) allow us to give an explicit description of all weakly critical and, respectively, weakly hypercritical tournaments (in particular, of corresponding partially ordered sets), that is the minimal ones, for which Tits forms are not positive or, respectively, nonnegative definite.