Adaptation of oscillatory systems in networks — a learning signal approach

Abstract

We consider a network of coupled periodic stable signals (PSS) interacting through the gradient of a coupling potential. Each PSS has its own set of parameters Ωk, characterizing the time scale of the signal and its shape. The Ωk are allowed to modify their values (i.e. to adapt) by introducing adaptive mechanisms on them. Together with the state variable interactions, the adaptive mechanisms drive all PSS towards a consensual oscillatory state where they all have a common, constant set of parameters Ωk. Once reached, the consensual oscillatory state remains invariant to the interactions. This implies that if the interactions are removed, all PSS continue to deliver the consensual signal. This situation is to be contrasted with classical synchronization problems where common dynamical patterns are attained and maintained thanks to the interactions. Hence, if the interactions are removed, all PSS converge back towards their individual behavior. The resulting value Ωk is analytically calculated. It does not depend on the network’s topology. However, the conditions for convergence do depend on the connectivity of the network and on the coupling potential.

Розглянуто мережу зв’язаних періодичних стійких сигналів (PSS) взаємодіючих через градієнт потенціалу зв’язку. Кожен PSS має свій власний набір параметрів Ωk, що характеризує часову шкалу сигналу і його форму. Ωk можуть змінювати їх значення (тобто, адаптуватися) шляхом введення в них адаптивних механізмів. Разом з взаємодіями змінних стану, адаптивні механізми приводять усі PSS до узгодженого коливального стану, де вони всі мають спільну, постійну множину параметрів Ωk. Будучи досягнутим, узгоджений коливальний стан залишається інваріантним до взаємодій. Це означає, що якщо взаємодії прибирають, то усі PSS продовжують видавати узгоджений сигнал. Ця ситуація відрізняється від класичних проблем синхронізації, де загальні динамічні характеристики досягаються і підтримуються завдяки взаємодіям. Таким чином, якщо взаємодії прибирають, усі PSS сходяться назад до їх індивідуальної поведінки. Результат значення Ωk обчислюється аналітично. Він не залежить від топології мережі. Однак умови збіжності все ж залежать від зв’язності мережі і від сполученого потенціалу.

Рассмотрена сеть связанных периодических устойчивых сигналов (PSS) взаимодействующих через градиент потенциала связи. Каждый PSS имеет свой собственный набор параметров Ωk, характеризующий временную шкалу сигнала и его форму Ωk могут менять их значения (то есть, адаптироваться) путем введения в них адаптивных механизмов. Вместе с взаимодействиями переменных состояния, адаптивные механизмы приводят все PSS к согласованному колебательному состоянию, где они все имеют общее, постоянное множество параметров Ωk. Будучи достигнутым, согласованное колебательное состояние остается инвариантным к взаимодействиям. Это означает, что если взаимодействия убирают, то все PSS продолжают выдавать согласованный сигнал. Эта ситуация отличается от классических проблем синхронизации, где общие динамические характеристики достигаются и поддерживаются благодаря взаимодействиям. Таким образом, если взаимодействия убирают, все PSS сходятся обратно к их индивидуальному поведению. Результат значения Ωk вычисляется аналитически. Он не зависит от топологии сети. Однако условия сходимости все же зависят от связности сети и от сопряженного потенциала.